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TEORIA DEI NUMERI

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TEORIA DEI NUMERI

Messaggio Da Angelodiluce il Ven Apr 30, 2010 4:47 am

NUMERI PRIMI: SONO I NUMERI INTERI DIVISIBILI SOLO PER SE STESSI E PER L'UNITA', ESSI SONO IN NUMERO INFINITO.

NUMERI PRIMI GEMELLI: SONO LE COPPIE DI NUMERI PRIMI SEPARATI SOLO DA UN NUMERO. ES: 71 - 73.

CONGETTURA DI GOLDBACH: OGNI NUMERO PARI E' SEMPRE ESPRIMIBILE COME SOMMA DI DUE NUMERI PRIMI.

FUNZIONI GENERATRICI DI NUMERI PRIMI: LA PIU' NOTA E' LA POLINOMIALE X^2 + X + 41 CHE, PONENDO AL POSTO DI X I NUMERI INTERI DA 0 A 39, GENERA 40 NUMERI PRIMI CONSECUTIVI.

FATTORI PRIMI: OGNI NUMERO E' ESPRIMIBILE IN UN SOLO MODO COME PRODOTTO DI NUMERI PRIMI. ES: 105 = 3*5*7 E NON E' ESPRIMIBILE IN NESSUN ALTRO MODO COME PRODOTTO DI NUMERI PRIMI.

DIVISORI: SONO TUTTI I NUMERI PER CUI UN INTERO E' DIVISIBILE. ES: I DIVISORI DI 105 SONO. 1,3,5,7,15,21,35.

NUMERI ABBONDANTI E DEFICIENTI: UN NUMERO E' ABBONDANTE SE E' INFERIORE ALLA SOMMA DEI SUOI DIVISORI PROPRI. AL CONTRARIO E' DEFICIENTE. ES: 20 E' ABBONDANTE PERCHE' LA SOMMA DEI SUOI DIVISORI PROPRI E' 22. 50 E' DEFICIENTE PERCHE' LA SOMMA DEI SUOI DIVISORI PROPRI E' 43.

NUMERI PERFETTI: SONO I NUMERI UGUALI ALLA SOMMA DEI LORO DIVISORI PROPRI. ES. 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. ESSI SONO PIUTTOSTO RARI.

NUMERI AMICI: SONO CIASCUNO LA SOMMA DEI DEIVISORI DELL'ALTRO. LA PIU' PICCOLA COPPIA DI NUMERI AMICI E' 220 - 284.

SERIE DI FIBONACCI: OGNI TERMINE DELLA SERIE E' LA SOMMA DEI DUE CHE LO PRECEDONO ED I PRIMI DUE TERMINI SONO 1 1 PER CUI I NUMERI DI FIBONACCI SONO 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144...... ESSI GODONO DI NOTEVOLI PROPRIETA'

EQUAZIONI DIOFANTEE: UN'EQUAZIONE DIOFANTEA DI PRIMO GRADO HA LA FORMA A*X + B*Y = C, CON A,B,C NUMERI INTERI. LA SOLUZIONE (X,Y) DEVE ESSERE UNA COPPIA DI NUMERI INTERI.
ES: UNA SOLUZIONE DELL'EQUAZIONE DIOFANTEA 3*X + 5*Y = 61 E' X = 7, Y = 8. ESISTONO EQUAZIONI DIOFANTEE DI GRADO SUPERIORE AL PRIMO.

TERNE PITAGORICHE: SONO LE TERNE DI NUMERI INTERI A,B,C TALI CHE A^2 + B^2 = C^2. ES: 3^2 + 4^2 = 5^2

FATTORIALE DI N: E' IL PRODOTTO DEI PRIMI NUMERI INTERI FINO AD N COMPRESO E SI INDICA CON N! ES: 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720.

SERIE DI COLLATZ: DATO UN NUMERO INTERO INIZIALE N, IL TERMINE SUCCESSIVO SARA' N/2 SE N E' PARI, 3*N+1 SE N E' DISPARI. LA SERIE DI COLLATZ GIUNGE SEMPRE AD 1. ES: PARTENDO DA 20, SI OTTIENE: 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

PHI(N) FUNZIONE DI EULERO: E' IL NUMERO DEI NUMERI CHE NON HANNO DIVISORI COMUNI CON N. ES: PHI (20) = 8.

NEXTPRIME (N): E' IL NUMERO PRIMO PIU' PICCOLO SUCCESSIVO AD N. ES. NEXTPRIME(90) = 97

PALINDROMO: E' UN NUMERO CHE HA LO STESSO VALORE SE LETTO SIA DA SINISTRA CHE DA DESTRA. ES: 41814.

CONGRUENZA: SI DICE CHE A E' CONGRUO A B MODULO C SE B E' IL RESTO DELLA DIVISIONE DI A PER C. ES: 500 E' CONGRUO A 7 MODULO 29 PERCHE' LA DIVISIONE DI 500 PER 29 DA PER RESTO 7.

NUMERI DI SOPHIE GERMAIN: SONO QUELLE COPPIE DI NUMERI TALI CHE SIA P CHE 2*P + 1 SONO NUMERI PRIMI. ES: 11 - 23.

P = X^2 + Y^2: I NUMERI PRIMI SI DIVIDONO IN DUE GRANDI FAMIGLIE, QUELLI CHE DIVISI PER 4 DANNO RESTO 1 (P = 4*X+1) E QUELLI CHE DIVISI PER 4 DANNO RESTO 3 (P = 4*X+3). I PRIMI SONO ESPRIMIBILI IN UN SOLO MODO COME SOMMA DI DUE QUADRATI ESATTI, I SECONDI IN NESSUN MODO.

RESIDUI QUADRATICI DI UN NUMERO PRIMO: UN RESIDUO QUADRATICO DI UN NUMERO PRIMO E' IL RESTO DELLA DIVISIONE DI UN QUADRATO ESATTO PER IL NUMERO PRIMO. ES. 20 E' UN RESIDUO QUADRATICO DEL NUMERO PRIMO 29 PERCHE' E' IL RESTO DELLA DIVISIONE DEL QUADRATO ESATTO 49 (7*7) PER 29. UN NUMERO PRIMO P HA (P-1)/2 RESIDUI QUADRATICI E (P-1)/2 NON RESIDUI QUADRATICI.

INVERSO DI A MODULO P: IL NUMERO B SI DICE INVERSO DI A MODULO P SE A*B E' CONGRUO AD 1 MODULO P. ES: L'INVERSO DI 7 MODULO 13 E' 2.

PICCOLO TEOREMA DI FERMAT: SE P E' UN NUMERO PRIMO ALLORA PER TUTTI GLI A PRIMI CON P E' VERO CHE A^(P-1) E' CONGRUO AD 1 MODULO P.

GRANDE TEOREMA DI FERMAT: L'EQUAZIONE DIOFANTEA A^N + B^N = C^N HA SOLUZIONI SOLO PER N = 2 (TERNE PITAGORICHE).

TEOREMA DI WILSON: SE P E' UN NUMERO PRIMO, ALLORA (P-1)! E' CONGRUO A P-1 MODULO P.

SEQUENZE ALIQUOT: IN UNA SEQUENZA ALIQUOT OGNI NUMERO E' LA SOMMA DEL NUMERO DEI DIVISORI DEL NUMERO CHE LO PRECEDE. SI POSSONO VERIFICARE 4 CASI: 1)LA SEQUENZA TERMINA CON 1. 2) LA SEQUENZA TERMINA CON IL NUMERO INIZIALE (SEQUENZA ALIQUOT). 3) LA SEQUENZA E' COSTITUITA DA 2 SOLI NUMERI (NUMERI AMICI). 4) LA SEQUENZA E' COSTITUITA DA UN SOLO NUMERO (NUMERO PERFETTO). LA PIU' PICCOLA SEQUENZA ALIQUOT E' 12496 - 14288 - 15472 - 14536 - 14264 - 12496.

FRAZIONI EGIZIANE: UNA FRAZIONE PUO' ESSERE SEMPRE ESPRESSA COME SOMMA DI FRAZIONI TUTTE CON NUMERATORE 1. ES: 13/19 = 1/2 + 1/6 + 1/57.

EQUAZIONE DI PELL: E' L'EQUAZIONE DIOFANTEA Y^2 - N*X^2 = -1 O Y^2 -N*X^2 = +1. ES: PER N = 13 LA PRIMA HA MINIMA SOLUZIONE (Y=18,X=5), LA SECONDA (Y=649,X=180).

SERIE PALINDROMICHE: SI PARTE DA UN NUMERO INTERO. GLI SI SOMMA IL NUMERO LETTO DA DESTRA VERSO SINISTRA. SUL NUMERO OTTENUTO SI RIPETE L'OPERAZIONE E COSI' VIA. NELLA MAGGIORANZA DEI CASI SI GIUNGE AD UN NUMERO PALINDROMO, MA VI SONO DEI CASI IN CUI NON SI SA SE SI GIUNGERA' MAI AD UN NUMERO PALINDROMO, COME IL FAMOSO 196.

ORDINE DI UN NUMERO A MODULO P PRIMO. E' IL MINIMO ESPONENTE X TALE CHE A^X E' CONGRUO AD 1 MODULO P.

RADICE PRIMITIVA DI UN NUMERO PRIMO P: E' UN NUMERO A IL CUI ORDINE MODULO P E' (P-1).

MODPOW(A,B,C): E' LA FUNZIONE CHE RESTITUISCE A^B MODULO C

NUMERI TRIANGOLARI: SONO LA SOMMA DEI PRIMI N NUMERI NATURALI. I PRIMI NUMERI TRIANGOLARI SONO: 1,3,6,10.15,21,28,36.....

NUMERI DI MERSENNE: SONO I NUMERI PRIMI DELLA FORMA 2^N - 1. IN TUTTI I NUMERI DI MERSENNE L'ESPONENTE N E' UN NUMERO PRIMO MA SE IN UN NUMERO 2^N - 1 L'ESPONENTE N E' UN NUMERO PRIMO, CIO' NON GARANTISCE AFFATTO CHE 2^N - 1 SIA PRIMO.

DESERTI SENZA PRIMI: SONO VASTE DISTESE DI NUMERI INTERI CONSECUTIVI TRA I QUALI NON VI E' NESSUN NUMERO PRIMO. PER ESEMPIO TRA I NUMERI PRIMI 9551 E 9587 C'E' UN DESERTO DI 35 NUMERI NON PRIMI. MA VI SONO DESERTI BEN PIU' ESTESI. LA DISTRIBUZIONE DEI NUMERI PRIMI RESTA UN MISTERO!

NUMERI DI CHARMICHAEL: PER IL PICCOLO TEOREMA DI FERMAT, SE P E' PRIMO, PER TUTTI GLI A PRIMI CON P, SI HA CHE A^(P-1) E' CONGRUO AD 1 MODULO P. ORA ESISTONO ANCHE ALCUNI NUMERI NON PRIMI (RARI, MA INFINITI) CHE GODONO DI QUESTA PROPRIETA' E VENGONO CHIAMATI I NUMERI DI CHARMICHAEL DAL NOME DEL PRIMO MATEMATICO CHE LI STUDIO'. I PRIMI NUMERI DI CHARMICAEL SONO: 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911........

A^3 + B^3 = C^3 + D^3: IL PIU' PICCOLO NUMERO ESPRIMIBILE IN DUE MODI DIVERSI COME SOMMA DI 2 CUBI ESATTI E' 1729, INFATTI:
1729 = 1^3 + 12^3 = 9"3 + 10^3
SEGUONO 4104, 13832, 39312, 46683........
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